圏 CompHaus におけるカノニカル位相とGrothendieck位相の完全な解説

集合論的なファイバー積 $X \times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y \mid f(x) = g(y)\}$ を考える。Tychonoffの定理により、直積空間 $X \times Y$ はコンパクトHausdorff空間である。写像 $h: X \times Y \to Z \times Z$ を $h(x, y) = (f(x), g(y))$ と定義すると、$f, g$ の連続性より $h$ も連続である。
$Z$ はHausdorff空間であるため、対角集合 $\Delta_Z = \{(z, z) \mid z \in Z\}$ は $Z \times Z$ における閉集合である。したがって、$X \times_Z Y = h^{-1}(\Delta_Z)$ は $X \times Y$ の閉部分集合となる。コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトであり、Hausdorff空間の部分空間はHausdorffであるため、$X \times_Z Y$ はコンパクトHausdorff空間となり、$\mathbf{CompHaus}$ の対象である。射影 $\pi_1: X \times_Z Y \to X$ と $\pi_2: X \times_Z Y \to Y$ が引き戻しの普遍性を満たすことは通常の位相空間論の議論から従う。

ふるいの定義のみに基づく厳密な証明を行う。

1. 極大性:
$X$ 上の最大のふるい $t_X$ を考える。恒等射 $\operatorname{id}_X: X \to X$ は $t_X$ に属する。単元からなる有限族 $\{\operatorname{id}_X\}$ を考えると、その像は $\operatorname{id}_X(X) = X$ であり全射である。よって、$t_X$ は有限結合全射な部分族を持つため、$t_X \in J_{\mathrm{fjs}}(X)$ である。

2. 安定性:
$S \in J_{\mathrm{fjs}}(X)$ とし、$g: Y \to X$ を任意の連続写像とする。定義より、ある有限族 $\{f_i: X_i \to X\}_{i=1}^n \subset S$ が存在し、$\bigcup_{i=1}^n f_i(X_i) = X$ を満たす。
各 $i$ に対して引き戻し $P_i = X_i \times_X Y$ を構成し、射影を $\pi_{1,i}: P_i \to X_i$、$\pi_{2,i}: P_i \to Y$ とする。このとき $f_i \circ \pi_{1,i} = g \circ \pi_{2,i}$ が成り立つ。
$S$ は右イデアルであり、$f_i \in S$ であるから、$f_i \circ \pi_{1,i} \in S$ である。したがって $g \circ \pi_{2,i} \in S$ となり、引き戻しふるいの定義より $\pi_{2,i} \in g^*S$ である。これにより、有限族 $\{\pi_{2,i}: P_i \to Y\}_{i=1}^n \subset g^*S$ が得られる。
この族が結合的に全射であることを示す。任意の $y \in Y$ に対し $g(y) \in X$ である。$\{f_i\}_{i=1}^n$ の結合全射性より、ある $k \in \{1, \dots, n\}$ と $x_k \in X_k$ が存在して $f_k(x_k) = g(y)$ となる。このとき $(x_k, y) \in X_k \times_X Y = P_k$ であり、$\pi_{2,k}(x_k, y) = y$ である。よって $\bigcup_{i=1}^n \pi_{2,i}(P_i) = Y$ が成り立ち、$g^*S \in J_{\mathrm{fjs}}(Y)$ である。

3. 推移性:
$S \in J_{\mathrm{fjs}}(X)$ とし、$R$ を $X$ 上のふるいとする。すべての $f \in S$ に対して $f^*R \in J_{\mathrm{fjs}}(\operatorname{dom}(f))$ であると仮定する。
$S \in J_{\mathrm{fjs}}(X)$ より、有限族 $\{f_i: X_i \to X\}_{i=1}^n \subset S$ が存在し、$\bigcup_{i=1}^n f_i(X_i) = X$ を満たす。
仮定より、各 $i$ について $f_i^*R \in J_{\mathrm{fjs}}(X_i)$ である。したがって、有限族 $\{g_{i,j}: Z_{i,j} \to X_i\}_{j=1}^{m_i} \subset f_i^*R$ が存在し、$\bigcup_{j=1}^{m_i} g_{i,j}(Z_{i,j}) = X_i$ を満たす。
$g_{i,j} \in f_i^*R$ の定義より、$f_i \circ g_{i,j} \in R$ である。ここで、合成射からなる族 $F = \{f_i \circ g_{i,j}: Z_{i,j} \to X \mid 1 \le i \le n, \; 1 \le j \le m_i\}$ を考える。$n$ も各 $m_i$ も有限であるため、$F$ は $R$ に含まれる有限族である。
任意の $x \in X$ をとる。$\{f_i\}$ の結合全射性より、ある $k$ と $x_k \in X_k$ が存在して $f_k(x_k) = x$ となる。さらに $\{g_{k,j}\}_j$ の結合全射性より、ある $l$ と $z_{k,l} \in Z_{k,l}$ が存在して $g_{k,l}(z_{k,l}) = x_k$ となる。ゆえに $(f_k \circ g_{k,l})(z_{k,l}) = f_k(x_k) = x$ であり、$F$ は結合的に全射である。
したがって、$R$ は有限結合全射な族 $F$ を含むため、$R \in J_{\mathrm{fjs}}(X)$ である。以上により、すべての公理が示された。

$S \in J_{\mathrm{fjs}}(X)$ とすると、有限族 $\{f_i: X_i \to X\}_{i=1}^n \subset S$ で $\bigcup_{i=1}^n f_i(X_i) = X$ なるものが存在する。
対象の有限余積 $\coprod_{i=1}^n X_i$ は有限個のコンパクトHausdorff空間の非交和であるため、再びコンパクトHausdorff空間である。射の族 $\{f_i\}$ は一意な連続写像 $p: \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ を誘導し、仮定より $p$ は全射である。
$\mathbf{CompHaus}$ において、コンパクト空間からHausdorff空間への連続写像は閉写像である。したがって全射 $p$ は商写像 (quotient map) であり、圏論的には正則エピ射である。
$\mathbf{CompHaus}$ は Barr完全圏であるため、正則エピ射は引き戻しに沿って安定であり、かつ有効降下射 (effective descent morphism) となる。したがって、この正則エピ射 $p$ から生成されるふるい $S$ は普遍的有効エピ射であり、すべての表現可能前層を層にする。定義より $S \in J_{\mathrm{can}}(X)$ である。

背理法で示す。あるふるい $S \in J'(X)$ が存在し、$S \notin J_{\mathrm{fjs}}(X)$ であると仮定する。すなわち、$S$ はいかなる有限結合全射な部分族も含まない。
各 $f \in S$ の像 $K_f = f(\operatorname{dom}(f))$ は $X$ のコンパクト部分集合であり、したがって閉集合である。仮定より、任意の有限部分集合 $F \subset S$ に対して $K_F = \bigcup_{f \in F} K_f \neq X$ である。
$J'$ はサブカノニカルであるため、コンパクトHausdorff空間 $Z = [-1, 1]$ に対する表現可能前層 $h_Z = \operatorname{Hom}_{\mathbf{CompHaus}}(-, Z)$ は $J'$ に関する層である。これにより、バナッハ空間 $C(X) = C(X, \mathbb{R})$ から射影極限への自然な線形同型が存在する： $$T: C(X) \xrightarrow{\sim} \lim_{f \in S} C(K_f)$$ $C(X)$ は一様ノルム $\|g\|_\infty = \sup_{x \in X} |g(x)|$ を持つバナッハ空間であり、$\lim_{f \in S} C(K_f)$ は射影極限位相 (局所凸位相) を持つ。同型写像 $T$ の逆写像 $T^{-1}$ は連続線形写像でなければならない。局所凸空間の性質 (および開写像定理の帰結) から、バナッハ空間 $C(X)$ のノルムはある有限個の成分のセミノルムによって抑えられなければならない。すなわち、ある有限部分集合 $F \subset S$ と定数 $C > 0$ が存在して、すべての $g \in C(X)$ に対して $$\|g\|_\infty \le C \max_{f \in F} \|g|_{K_f}\|_\infty$$ が成り立つ。
しかし、仮定より $K_F \neq X$ であるから、$X \smallsetminus K_F$ は空でない開集合である。点 $x_0 \in X \smallsetminus K_F$ を一つ選ぶ。Urysohnの補題より、コンパクトHausdorff空間 $X$ 上の連続関数 $g: X \to [0, 1]$ であって、 $g(K_F) = \{0\}$ かつ $g(x_0) = 1$ を満たすものが存在する。
この関数 $g$ を上記の不等式に代入する。左辺は $\|g\|_\infty \ge g(x_0) = 1$ である。一方、任意の $f \in F$ に対して $K_f \subset K_F$ であり $g$ は $K_F$ 上で $0$ であるから、$\|g|_{K_f}\|_\infty = 0$ である。ゆえに右辺は $C \cdot 0 = 0$ となる。
したがって $1 \le 0$ という矛盾を得る。よって背理法の仮定は誤りであり、$S \in J_{\mathrm{fjs}}(X)$ である。

背理法を用いる。あるふるい $S \in J'(X)$ が有限部分被覆を持たないと仮定する。各 $f \in S$ に対し、その像 $C_f = f(\operatorname{dom}(f))$ は $X$ の閉集合である。
ステップ 1: フィルター基底の構成
仮定より、任意の有限部分集合 $F \subset S$ に対して $\bigcup_{f \in F} C_f \neq X$ である。したがって、補集合をとった開集合の族 $$\mathcal{B} = \left\{ X \smallsetminus \bigcup_{f \in F} C_f \;\middle|\; F \subset S \text{ は有限集合} \right\}$$ は空集合を含まず、有限交差性 (finite intersection property) を持つ。よって $\mathcal{B}$ は $X$ 上の開フィルター基底となる。
ステップ 2: Stone-Čechコンパクト化による反例の構成
$S \in J'(X)$ であり $J'$ がカノニカル位相に含まれるならば、$S$ は (有効である以前に) 普遍的エピ射 (universally epimorphic) でなければならない。すなわち、任意の対象 $E$ と連続写像 $p: E \to X$ による引き戻し $p^*S$ もまたエピ射 (像の和集合が $E$ で稠密) でなければならない。
反例となる空間 $E$ として、集合 $X$ に離散位相を与えた空間 $X_d$ の Stone-Čech コンパクト化 $E = \beta(X_d)$ を考える。自然な連続全射 $p: \beta(X_d) \to X$ が存在する (これは $\operatorname{id}: X_d \to X$ の連続拡張である)。
$\beta(X_d)$ の点は $X_d$ 上の超フィルター (ultrafilter) と同一視できる。ステップ1で構成したフィルター基底 $\mathcal{B}$ はある超フィルター $\mathcal{U} \in \beta(X_d)$ に拡張される。
ステップ 3: 普遍的エピ射性の破綻
各 $f \in S$ に対して引き戻し $p^{-1}(C_f)$ を考える。$S$ が普遍的エピ射であるためには、$E = \beta(X_d)$ において $\bigcup_{f \in S} p^{-1}(C_f)$ が稠密でなければならず、特に点 $\mathcal{U}$ がその閉包に含まれなければならない。もしそうであれば、$\mathcal{U}$ の任意の基本近傍は、ある $p^{-1}(C_f)$ と交わるはずである。
しかし、$C_f$ の補集合 $X \smallsetminus C_f$ は $X_d$ において開かつ閉 (clopen) であり、その $\beta(X_d)$ における閉包 $V_f = \overline{X \smallsetminus C_f}^{\beta(X_d)}$ は $\mathcal{U} \supset \mathcal{B} \ni X \smallsetminus C_f$ であることから $\mathcal{U}$ の開近傍となる。
この近傍 $V_f$ は構造上 $p^{-1}(C_f)$ と交わらない (点 $x \in X \smallsetminus C_f$ は $C_f$ に属さないため)。これは、いかなる $f \in S$ に対しても、$\mathcal{U}$ の近傍と $p^{-1}(C_f)$ の交わりが空になるような近傍が存在することを意味する。したがって、$\mathcal{U}$ は $\bigcup_{f \in S} p^{-1}(C_f)$ の閉包に属さず、稠密性が破綻する。
ゆえに $S$ は普遍的エピ射ではなくなり、表現可能関手 $h_Z$ に対する層条件を満たさない。これは $S \in J'(X)$ という前提に矛盾する。したがって、仮定は誤りであり、$S$ は有限結合全射な族を含まなければならない。よって $J_{\mathrm{can}} \subset J_{\mathrm{fjs}}$ が示された。